Présentation rapide
Ce texte expose le résultat de Feigenbaum. Ce résultat s'applique à tout un ensemble de suites obéissant à certaines conditions. Selon la valeur d'un paramètre, ces suites peuvent avoir un comportement "régulier" (avec une limite ou un cycle limite) ou bien chaotique. Elles obéissent à un type de "transition vers le chaos" qui se retrouve dans de très nombreuses autres situations. Quant à l'énoncé de Feigenbaum proprement dit, il définit des constantes qui apparaissent dans cette transition dans le chaos.
Ces suites donnent un exemple simple de comportement chaotique. Le résultat de Feigenbaum, relativement simple à comprendre, constitue une réelle curiosité mathématique; il se retrouve également dans quelques systèmes physiques.
Ce texte est tiré d'un exposé que j'ai fait pour raisons scolaires (TIPE, si vous connaissez). Il m'a semblé qu'il pourrait intéresser certaines personnes (en particulier les taupins qui recherchent un TIPE clés en main
); c'est pourquoi je l'ai édité sous cette forme. (Presque?) tout ce que je raconte devrait être accessible à un élève de Terminale. De toute façon, si vous ne comprenez pas une phrase ou une définition mathématique, cela ne vous empêche pas de lire le reste.
Remarque purement technique
Afin d'avoir des formules mathématiques à peu près lisibles, j'utilise des indices et des exposants. Cela rendra malheureusement ces formules peu compréhensibles si votre butineur n'est pas capable d'afficher les exposants et indices (cas de Lynx, à cause des limitations inhérentes aux terminaux texte). Si vous êtes dans ce cas, vous pouvez vous rabattre sur la version Latex, ou, si vous n'avez pas de Latex, me demander gentiment de créer une version HTML sans indice ni exposant.
Le point de départ
Le point de départ de l'étude de Feigenbaum était la famille de suites définie par : un+1=k*un*(1-un) avec un toujours compris entre 0 et 1, et le paramètre k compris entre 0 et 4. (En effet, si k vérifie cette condition, alors il suffit que u0 soit entre 0 et 1 pour que tous les un le soient.)
Représentation graphique de x->k*x*(1-x) :
Pour l'anecdote, à l'origine, cette suite avait été étudiée par des biologistes, comme un modèle simplifié de la dynamique de la population. La valeur un y représente l'effectif de la population (ou plutôt, vu que un est entre 0 et 1, l'effectif de la population divisé par l'effectif maximal imaginable pour la population), pris à l'instant n (traduisez : "n ans,mois ou jours (selon la rapidité des variations de la population) après le début de l'étude"). Il fallait en effet tenir compte de deux phénomènes dans la modélisation : d'une part, l'accroissement naturel de la population, et d'autre part la raréfaction des ressources alimentaires qui conduit, quand la population est nombreuse, à une réduction de la population, jusqu'à sa disparition si la surpopulation est extrême. (Il n'y a pas de prédateur dans ce modèle.) Dans cette perspective, une fonction en bosse de dromadaire comme x*(1-x) paraissait adaptée, le paramètre k permettant de prendre en compte l'accroissement naturel propre à cette population. Ce modèle peut certes sembler très simplifié, mais il n'a rien d'absurde - des variations de populations réelles ressemblent effectivement à ce modèle - et puis un modèle simple est a priori plus simple à étudier et comprendre (évidemment...).
Elle avait été notamment étudiée par Robert May, et puis par Metropolis Stein et Stein (1971 pour les deux études), qui avaient remarqué son comportement chaotique. Ces derniers avaient démontré certains résultats, et avaient aussi constaté que ce comportement n'était pas spécifique à cette seule suite.
Conditions générales sur la suite un
Suite (un) définie par un+1=k*f(un), avec f vérifiant :
f définie entre 0 et 1, continue et 3 fois dérivable, à valeurs positives, avec f(0)=f(1)=0.
f admet un maximum unique en xm (par unique, comprenez qu'il n'y a pas d'autres maximums, même relatifs, c'est-à-dire que f est strictement croissante sur [0,xm] et strictement décroissante sur [xm,1]). De plus, en ce maximum xm, il faut : f''(xm)<>0.
f a une dérivée schwarzienne négative (sur [0,1]). 1.
Plus "intuitivement", ces conditions sont en quelque sorte la traduction mathématique de "fonction en bosse de dromadaire". On peut remarquer qu'elles sont assez générales.
On prendra évidemment u0 entre 0 et 1, et puis k entre 0 et 1/f(xm), ce qui permet de s'assurer que, pour tout n, un reste entre 0 et 1.
Quelques "définitions"
Oui, je groupe les définitions au début. Mais vous avez le droit de les sauter puis de revenir en arrière.
Pour ceux qui ne savent pas : dire qu'une suite tend vers une limite (ou qu'elle converge) c'est dire qu'il suffit d'attendre suffisamment longtemps pour que toutes les valeurs de la suite soient aussi proches que l'on veut d'un nombre fixe - la limite. (Plus clairement : l est limite de un si et seulement si quel que soit quel que soit e>0 arbitraire, il existe un n0 tel que, pour tout n>n0, |un-x|<e )
Dire que un admet un cycle limite d'ordre p, c'est, par exemple, dire que up*n, up*n+1,... up*n+(p-1) admettent toutes des limites.
Valeur d'adhérence : on attend aussi longtemps que l'on veut, la suite aura encore des termes aussi proches que l'on veut d'un nombre - qu'on appelle "valeur d'adhérence". (Plus clairement : x est valeur d'adhérence de un si et seulement si quel que soit e>0, quel que soit n0 entier, il existe au moins un n>n0 tel que |un-x|<e ). Une suite peut avoir plusieurs valeurs d'adhérence, et même une infinité de valeurs d'adhérence. (On construit couramment des suites qui admettent tout nombre réel comme valeur d'adhérence.)
Attracteur : ensemble des valeurs d'adhérence.
Vision générale du comportement de ces suites
On s'intéressera au comportement de la suite "à l'infini". La suite peut tendre vers une limite; elle peut, plus généralement, tendre vers un cycle limite; enfin elle peut parfaitement n'admettre aucun cycle limite.
A priori, le comportement de la suite dépend non seulement du paramètre k, mais aussi de la valeur initiale u0. Et c'est effectivement le cas. Mais, si l'on essaye quelques valeurs de u0 au hasard, on constate qu'il existe un comportement "typique" de la suite qui, k étant fixé, admet "pour presque tous les u0" un même cycle final 2. (sauf dans le domaine chaotique où il n'y a justement pas de cycle "typique" et/ou stable.)
Pour représenter ce comportement pour les différentes valeurs du paramètre, on peut recourir à un diagramme de bifurcation (parfois surnommé "figuier de Feigenbaum"). Pour chaque valeur de k, on place les valeurs prises par la suite après un grand nombre d'itérations.
Diagramme de bifurcation pour (un) définie par un+1=k*un*(1-un) :
Le même en plus grand. (1024*1024, 17,1ko)
Détail du précédent :
Le même en plus grand. (1024*1024, 68,1ko)
On reconnaît le schéma suivant : (il est à noter que ce schéma est très général et se retrouve dans beaucoup d'autres cas que celui de ces suites (voir la note 4 à ce sujet))
Pour k faible, on a une limite unique.
Au-dessus d'une certaine valeur critique (c'est le nom consacré), on a deux valeurs d'adhérence correspondant à un cycle limite d'ordre 2. On a ensuite une cascade de dédoublements de l'attracteur : 4,8,16,32... valeurs d'adhérence correspondant à des cycles limite du même ordre; la suite des valeurs critiques Ln est convergente (c'est-à-dire que la suite (Ln) a une limite).
On a ensuite une région chaotique. On peut définir le chaos par ceci : deux u0 très proches (aussi proches que l'on veut) vont toujours (ou du moins presque toujours) donner, après un nombre suffisant d'itérations, des valeurs de (un) complètement différentes. Pour donner un exemple, si pour u0=0,1 , on trouve u10000=0,05 , alors que pour u0=0,100000000001 , on trouve u10000=0,87 (suite à valeurs comprises entre 0 et 1), on se trouve probablement en face d'une suite chaotique. De plus, on reconnaît la région chaotique à ce que les un semblent se balader sans but sur une bonne part de l'intervalle [0,1] (c'est vrai pour la plupart des u0, et c'est donc cela qu'on voit sur le diagramme). Même si pour certaines valeurs de u0 on a un comportement cyclique, ces cycles limites sont tous instables (en ce sens où un u0 même extrêmement proche de celui qui conduit au cycle limite ne conduira généralement pas à ce cycle limite), et ce comportement cyclique est donc spécifique de ces valeurs de u0, qui sont "archi-minoritaires"3..
On remarque cependant un phénomène d'"intermittence" : pour certaines valeurs de k situées au milieu de la zone chaotique, on a des cycles d'ordre 3,5,7,9,11,... 6,10,14,18,... 12,20,28,... etc, et pour finir 32,16,8,4 4. suivis d'une nouvelle cascade de dédoublements de l'attracteur, et d'un retour à un comportement chaotique.
Les deux nombres de Feigenbaum
Première approche
Ces deux constantes sont généralement notées delta et alpha (minuscules grecques). Pour cause de mauvaise volonté du langage HTML, je les noterai d et a. Les valeurs approchées sont d=4,6692016090... et a=2,5029078750957... .
Ces constantes peuvent être définies de multiples manières, mais on peut plus simplement les voir sur le diagramme de bifurcation.
Dans la région de transition vers le chaos, on voit une branche qui se divise en deux branches lesquelles se divisent elles-mêmes chacune en deux, donnant quatre branches, etc... On voit que les branches successives se ressemblent. Une définition "intuitive" des constantes de Feigenbaum est de dire que, à mesure que l'on va loin dans cette cascade de dédoublements de l'attracteur, et à condition d'être au voisinage de la droite y=xm, les deux branches filles ressembleront toujours plus à leur mère et sa jumelle, de sorte qu'elles y seront presque identiques, à une contraction horizontale de d et verticale de -a près. (Une contraction de -a : on contracte de a et on inverse comme dans un miroir.)
(une image est prévue...)
Pour traduire ces définitions dans une formule, il suffit trouver des repères sur les branches. Le plus évident est de recourir aux valeurs critiques.
d est la limite des (Ln-Ln-1)/(Ln+1-Ln) (où les Ln sont les valeurs critiques)
On définit ensuite wn distance, mesurée en Ln, entre les deux branches les plus proches, de part et d'autre, de la droite y=xm.
(Un dessin serait bienvenu, je sais...)
a est alors la limite des wn/wn+1.
On peut également recourir aux points superattractifs : on définit sn suite des points superattractifs par (sn*f)2^n(xm)=xm (Comprendre ici encore "(sn*f) itéré 2n fois") (En fait, il faudrait dire que sn est la plus grande des valeurs vérifiant ceci, car, par exemple, si (sn*f)2(xm)=xm, alors (sn*f)4(xm)=xm, etc...)
Alors d est la limite des (sn-sn-1)/(sn+1-sn); On pourrait également définir w'n distance, mesurée en sn, entre les deux branches, etc..., et alors a est la limite des w'n/w'n+1. (Pour une discussion du rôle particulier de xm, voir "Rapport entre les deux définitions".)
Définition plus générale de a
En posant y = x-xm et G(y,k)=(k*f(y+xm))-xm , on aura :
G2^n((-1/a)n*y,Ln) ~ (-a)*G2^n+1((-1/a)n+1*y,Ln+1)
G2^n((-1/a)n*y,sn) ~ (-a)*G2^n+1((-1/a)n+1*y,sn+1)
De ce fait, il apparaît que, toutes choses comparables, ce n'est pas seulement les branches du diagramme de bifurcation, mais toute la fonction f qui est contractée a fois au voisinage de xm.
De plus, la limite de (-a)n*G2^n((-a)-n*y,sn) existe et ne dépend pas de la fonction G ou f considérée, du moment que f satisfait les conditions générales données au début de l'énoncé. On peut donc dire qu'il existe une fonction universelle g0 telle que g0(y) soit la limite de tout (-a)n*G2^n((-a)-n*y,sn). (résultat qui apparaît assez fort si on y réfléchit.)
Rapport entre les deux définitions
Il y a un rapport entre la définition à partir du diagramme de bifurcation et celle à partir de la fonction parce que si la fonction (k*f)n a un point fixe avec une dérivée inférieure à 1 en valeur absolue en ce point, il existe un cycle stable d'ordre n (car l'application est alors contractante au voisinage de ce point). Pour étudier la cascade de dédoublements, on peut donc considérer (k*f), qui admet un seul point fixe (en dehors de 0); si la dérivée au point fixe est inférieure à -1, on peut s'intéresser à (k*f)2, qui, outre le point fixe de (k*f), en admet deux autres; puis le cas échéant à (k*f)4, etc... En somme chaque valeur critique Ln est la valeur où ((k*f)n)' atteint 1 ou -1 au point fixe.(je vais peut-être mettre des dessins, et sûrement développer tout ça...)
Or, on remarque qu'un des 2*n points fixes attractifs est situé au voisinage de xm. Il faut alors comprendre que quand on étudie le cycle d'ordre n et le cycle d'ordre 2*n, il n'y a pratiquement pas de différence si l'on considère ce point fixe au voisinage de xm : la fonction a été contractée -a fois ; quant aux variations induites par le paramètre k, ce sont les mêmes, à un paramètre d près. D'où l'idee qu'une contraction de toute la fonction implique une contraction de la branche.
Intérêt des résultats de Feigenbaum
Le premier intérêt est sans doute l'exemplarité. On peut itérer des suites de Feigenbaum et voir ces résultats sur n'importe quel ordinateur.
C'est l'illustration que le chaos peut survenir dans des systèmes simples (suite récurrente réelle, définie à l'aide d'une fonction tout à fait régulière), aussi bien que dans des systèmes complexes.
Cette étude a également montré que la transition vers le chaos pouvait être un objet d'étude. En effet, ce résultat est relativement universel : il s'applique à toute une classe de suites, avec des conditions assez générales.
On retrouve d'ailleurs ces constantes dans quelques systèmes physiques réels, en particulier dans certaines expériences simples d'écoulement hydrodynamique (notamment étudié par Eckmann et Collet).
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Bibliographie
Ian Stewart : Dieu joue-t-il aux dés? Les mathématiques du chaos (livre publié chez Flammarion, collection Champs). En V.O. : Does God play Dice? The new mathematics of Chaos (Penguin Books)
Une bonne introduction vulgarisatrice (c'est-à-dire qu'on y comprend quelque chose, pas comme chez moi
).
Douglas Hofstadter : L'universalité du chaos (article paru dans Pour la science (repris de Scientific American?) et repris dans un dossier hors-série de Pour la science intitulé tout simplement Le Chaos)
http://www.math.harvard.edu:80/~hmb/iss ... /iter.html
En anglais. Plus clair que chez moi, à mon propre avis.
Prochainement ici : un exemple de calcul de d.
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Si vous trouvez des erreurs, si votre butineur vous fait un caprice en affichant cette page, ou si votre Intel Merced tout neuf trouve 2+2=5 après avoir chargé les images, une seule adresse : pytheas@club-internet.fr (Non, ne vous gênez pas, je serais très intéressé par des commentaires..)
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Notes :
1.
Cette condition sur la dérivée schwarzienne mérite un commentaire.
On définit la dérivée Schwarzienne par : S(f)=(f''/f')'-(1/2)*(f''/f')2=f'''/f''-(3/2)*(f''/f')2
On a donc : S(f)<0 <-> (f'')2>(2/3)*f'*f'''
Il n'y a pas d'interprétation "simple" de cette condition. Il s'agit d'une condition de régularité sur l'ensemble de la courbe.
(Manque ici un truc...)
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2.
On peut aussi dire que, à k fixé, (un) admet au plus un cycle limite stable.
(Ce qu'il faut comprendre par "cycle limite instable" : pour certaines valeurs de u0, (un) tend effectivement vers ce cycle; cependant pour des valeurs de u0 aussi proches que l'on veut de ces premières valeurs, (un) ne tendra pas vers ce cycle limite.)
Autre remarque, à toutes fins utiles : xm se trouve toujours dans le bassin d'attraction du cycle stable. (Bassin d'attraction d'un cycle : c'est l'ensemble des u0 tels que (un) tende vers ce cycle.)
Pour les matheux : l'ensemble des u0 qui conduisent à des cycles limites instables est dénombrable. (Alors que [0,1] intervalle de R est indénombrable.)
En effet pour que u0 conduise à un cycle limite d'ordre p, il suffit que u0 soit un point fixe de (k*f)p (je note ainsi (k*f) itéré p fois, c'est-à-dire x->k*f(k*f(...(k*f(x))...)) où k*f apparaît p fois); on remarque que ces points fixes sont en nombre fini (c'est à cause de la forme en bosse de dromadaire de f); mais il y a plus : pour que u0 conduise à un cycle limite d'ordre p, il faut et il suffit que u0 soit un antécédent d'un tel point fixe par fi (i entier quelconque).
(Il suffit de remarquer que si (un) admet un cycle limite d'ordre p, alors (up*n) admet une limite; mais (up*n) vérifie up*0=u0 et up*(n+1)=(k*f)p(up*n). Donc, selon un théorème classique (théorème du point fixe), si (up*n) converge, elle tend vers un point fixe de (k*f)p. Si u0 n'est pas un antécédent d'un tel point fixe, alors un ne tombera jamais pile sur le point fixe. Mais alors si la suite (up*n) tend vers ce point fixe, ce point fixe est attractif (dérivée au point fixe inférieure à 1 en valeur absolue). Ceci implique que tout u0 (ou up*n en général) suffisamment proche de ce point fixe conduit au cycle limite, donc que ce cycle est stable : exclu par hypothèse.)
Alors tout vient tout seul, car pour i donné, l'ensemble des antécédents par fi d'un nombre est fini (à cause de la nature de f qui est monotone sur [0,xm] et [xm,1]), et donc l'ensemble des antécédents d'un nombre par fi avec i entier quelconque est dénombrable.
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3.
cf note 2 : Ici, l'ensemble des u0 qui conduisent à un cycle limite est dénombrable. (Alors que [0,1] intervalle de R est indénombrable.)
Retour au corps du texte.
4.
La séquence des fenêtres d'intermittence ne suit pas à proprement parler cet ordre, vu qu'il n'y a pas de fenêtre d'ordre 5,7,11... unique.
Si je ne me trompe pas, il y a néanmoins une fenêtre d'ordre 5 qui précède toute fenêtre d'ordre 3, une d'ordre 7 qui précède toutes celles d'ordre 5 (et d'ordre 3), etc, une d'ordre 6 qui précède toutes celles d'ordre 3,5,7,9,11..., etc.
En effet, le théorème de Sharkovski affirme, dans un cadre plus général (très général), que si la suite admet un de ces cycles, elle admet tous ceux qui suivent dans l'énumération ci-dessous :
3, 5, 7, 9, 11,... 2*k+1,...
6, 10, 14, 18, 22,... (2*k+1)*2,...
:
:
3*2n, 5*2n, 7*2n,... (2*k+1)*2n,...
:
:
:
:
et pour finir : ...2k, ..., 16, 8, 4, 2, 1.
De plus, une suite qui admet un cycle d'ordre autre que 2n a une zone chaotique, et une suite qui n'admet que des cycles d'ordre 2n, avec n majoré, n'a pas de zone chaotique.
Dans le cas qui nous intéresse, si l'on regarde le diagramme de bifurcation, on comprend que le schéma de cette transition vers le chaos n'est pas sans rapport avec le théorème de Sharkovski. Des cycles d'ordre 1, 2, 4... sont présents avant la zone chaotique; tous les autres forment des fenêtres d'intermittence au milieu de la zone chaotique.
