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[seleçao_OM]

j'ai besoin d'un peu d'aide c'est sur les limites de suites

On considere la suite Un definie par

u0=0 et u(n+1)=(2un+3)/(un+4)

a) Pour tout entier n , vn = (un-1)/(un+3) montrer que la suite est geometrique
b)Exprimer vn puis un en fonction de n
c) Calculer les limites de vn puis de un

voila merci a tous

J'ai reussi la question a) la suite est geometrique de raison q=1/5

[Anh Thom]

seleçao_OM,

b-vn=(1/5)^n.vo

La question C, ca me saoule de chercher, je viens de sortir d'un ptit controle de maths, alors bon

[seleçao_OM]

Anh Thom, ouai merci juste tu a fait comment pour un car vn j'avai reussi a peu pres

[birof]

Mon pauvre, personne t'aide un dimanche soir. C'est pour demain?
J'ai vraiment la flemme la, mais file moi ton MSN, si t'as un micro, je t'explique

[seleçao_OM]

birof, on est lundi et non c 'est pour jeudi je m'y prend un peu a l'avance

[seleçao_OM]

SOS SOS SOS SOS SOS SOS SOS SOS

[Anh Thom]

seleçao_OM, ah j'avais pas vu qu'il fallait aussi calculer un en fonction de n

Bah une fois que t'as trouvé Vn en fonction de n, tu remplaces vn par son expression et t'as u(n) en fonction de n (vn = (un-1)/(un+3)), (tu dois pouvoir te démerder à isoler u(n) ).

Bon pr les limites c facile.Puisque la raison de vn est inférieur stricte à 1, vn -> 0 qd n tend vers l'infini.
Pareil pour u(n) qd t'as son expression en fonction de n ( les constantes à la puissance n sont inférieures strictes à 1, donc ca jarte qd tu passes à la limite), bref ca doit faire 1 il me semble

[birof]

Bon, je laisse les autres t'aider, mais j'peux vite fait t'expliquer vu que c'est super classique comme exercice

a) tu cherches v(n+1) / v(n) et tu dois trouver un réél, pour cela tu doit exprimer v(n+1) en fonction de u(n), idem pour v(n). L'erreur "classique" des eleves c'est de mettre des u(n-1) lorsqu'ils remplacent v(n)... dieu seul sait pourquoi mais c'est pas grave !
La tu oublis pas d'exprimer v(n) en fonction de n, et comme c'est une suite géométrique : v(n) = v0 * q^n (fais le même si c'est pas demandé, c'est toujours utile, et ca fait plaisir au prof... On oublie pas les fondamentaux, pour avoir une bonne note, il faut faire plaisir au prof). Je te rappelle que cette formule c'est du cours!
si q=1/5. Tu calcule v0 = -1/3 (tu remplace u0 par sa valeur dans l'expression vn=...)
vn = -1/3 * (1/5)^n
D'ailleurs c'est la premiere question du b) surprennant n'est-ce pas

b) La aussi, c'est classique. t'as ton vn = (un-1)/(un+3) donc il suffit simplement d'exprimer un en fonction de vn... Dis toi que c'est juste une équation à 1 inconnue, et un c'est ton inconnu. Mes élèves je leur fais remplacer les un par des x, et soudainement (miracle) ils y arrivent.
Si tu te demande pourquoi c'est un l'inconnu et pas vn, ben tout simplement parce que vn tu l'as calculé à la question précédente !
Si t'arrives pas à résoudre 1equation à 1inconnu (je te rassure t'es pas le seul). Ton inconnu doit jamais etre au dénominateur donc :
vn * (un+3) = un-1
après tu développe
vn*un + 3vn = un-1
tu mets tous tes termes avec l'inconnu à gauche, et le reste à droite
vn*un - un = 3vn -1
tu factorise pour avoir plus qu'une fois ton inconnu
un(vn-1) = 3vn -1
et tu laisses ton inconnu toute seule à gauche
un = (3vn-1) / (vn-1)

Pour exprimer un en fonction de n... Ben la t'as un en fonction de vn, et à la question précédente t'as vn en fonction de n... Comme tu le vois c'est plutot logique !
En clair tu remplace tout simplement vn par sa valeur (trouvée au a)
un = (3(-1/3*(1/5)^n) -1) / (-1/3*(1/5)^n-1)
c'est moche mais c'est la réponse à la question

c) Encore une fois très très classique. Tu dois utiliser un théorème du cours qui dit :
lim a^n = ... (3possibilité écrites ci-dessous)
n->+infini

si a>1 alors lim a^n = infini
Si a=1 alors lim a^n = 1
si -1<a<1 alors lim a^n = 0
si a =< -1 alors lim a^n n'éxiste pas, on dit que la suite des a^n diverge
Si t'as pas compris, =< ca veut dire "inférieur ou égal".
Si tu veux je t'expliquerai pourquoi ca diverge... enfin si ca t'interresse tu demanderas

bref, on a donc vn = -1/3 * (1/5)^n
donc
lim vn = lim -1/3 * (1/5)^n
n-> inf. n->infini
le -1/3 on s'en fout (tu dois le savoir). et le 1/5^n c'est notre fameux théorème avec -1<a<1.
donc
lim 1/5^n = 0
n->infini

donc
limite vn = 0
n->infini

je te rappelle que on a trouvé à la question b:
un = (3vn-1) / (vn-1)
donc
lim un = lim (3vn-1) / (vn-1) = -1/-1 = 1
n->infi. n->infini
Pour passer de la limite au -1/-1, j'ai tout simplement remplacé les vn par 0, c'est ce que je venais de démontrer juste avant

Toujours vérifier les résultats avec la calculette parce que je suis le roi des erreurs de calculs
Et je te donne mon MSN si t'as besoin
birof_roars@hotmail.com

J'y crois pas que je viens d'écrire un message aussi long !


edit : j'avais fais une erreur, comme d'hab

[Thorgal]

ça me fait mal à la tête tout ça, je

[seleçao_OM]

Anh Thom, Pour vn tu ma dit vo mais vo je l'ai pas....

Moi j'ai fait comme ca dis moi si c'est bon

vn=(uo*((1/5)^n)-1)/(uo*((1/5)^n)+3)

merci

En fait je comprend pas trop ce que tu as fait

[birof]

J'ai super détaillé... alors que c'était peut-être pas la peine... Je connais pas ton niveau en math !
Si d'autres étudiants ont besoin d'aide en math... pas au dela de la MP* SVP

[Anh Thom]

seleçao_OM, v0 tu l'as, vu que tu as u0 (v0=-1/3)

Donc:vn=-1/3*(1/5)^n
Après c'est facile pour trouver un en fonction de n.

t'as compris les limites?

[birof]

Anh Thom, Pour vn tu ma dit vo mais vo je l'ai pas....

Moi j'ai fait comme ca dis moi si c'est bon

vn=(uo*((1/5)^n)-1)/(uo*((1/5)^n)+3)

merci

En fait je comprend pas trop ce que tu as fait

ton énoncé :
u0=0
vn = (un-1)/(un+3)
la réponse :
v0 = (u0-1)/(u0+3)
or u0=0 donc
v0 = -1/3

[seleçao_OM]

birof, Anh Thom, franchement merci je suis entrain de lire vos explicatiosn je pensent que je vais reussir je vous tiens au courant si j'ai un probleme quelconque

et birof, j'ai noté une petite erreur d'etourderie si je me trompe pas

vn*un + 3vn = un-1
tu mets tous tes termes avec l'inconnu à gauche, et le reste à droite
vn*un - un = 3vn -1

Ca serait pas plutot -3vn-1 ???

[birof]

oui tu as raison,
J'étais pas motivé pour faire des math, comme je l'ai dis à la fin, doit y avoir bcp d'erreur ! j'en ai déjà corrigé 2 en plus de celle la!
J'ai de la chance, celle-la ne change rien pour le reste de l'exercice (mis à part que tu remplace un 3 par un -3 un peu partout )

Au moins t'as la méthode, et crois moi c'est vraiment un exercice type (t'auras exactement le même à ton prochain DS)

[Figoal]

1-

v(n+1) = [u(n+1)-1] / [u(n+1) + 3]

v(n+1) = ([2*u(n)+3 -u(n)-4]/[u(n)+4]) / ([ 2*u(n)+3 +3*u(n)+12]/[u(n)+4])

v(n+1) = [u(n)-1]/[5*u(n)+15]

soit v(n+1) = (1/5) * v(n)


2-
v(n+1)=(1/5)*v(n) >>> récurrence : v(n)=v(0)*(1/5)^(n)

or v(0) = [u(0)-1] / [u(0)+3] soit v(0)=(-1/3)

donc au final : v(n)=(-1/3)*(1/5)^(n)


ensuite on sait v(n)= [u(n)-1] / [u(n)+3]

donc [u(n)-1] / [u(n)+3] = (-1/3) * (1/5)^n

on développe

u(n)-1 = u(n)*(-1/3) * (1/5)^n - (1/5)^n

on arrange un peu :

u(n) * [ 1 + (1/3) * (1/5) ^n ] = 1 - (1/5)^n

et enfin on divise le tout :

u(n) = [ 1 - (1/5)^n ] / [ 1 + (1/3) * (1/5) ^n ]


(à vérifier ça me semble bien compliqué comme expression)


3
bon la limite de v(n) c'est évidemment 0 vu que la raison est inférieure à 1

pour u(n)

le numérateur tend vers 1
le dénominateur tend vers 1

donc limite de u(n) tend vers 1

[seleçao_OM]

birof, justement c'est la correction du DS que je fais car elle le note il me semble

[Anh Thom]

Figoal, t'as du courage de tout détailler, pcq tout ce que tu dis, je le dis 3 posts plus haut en plus condensé

[Figoal]

Anh Thom, je l'ai tapé en le faisant
mais j'ai pas rédigé, faut pas déconner non plus faut qu'il bosse un peu le jeunot

par contre j'ai vérifié sur excel, ma limite est bonne, donc l'expression devrait l'être aussi même s'il doit y avoir une simplification (mais j'ai pas envie de la chercher )

[birof]

Comme tu vois y a des pros en math sur ce forum.
Figoal : v(n+1)=(1/5)*v(n) >>> récurrence : v(n)=v(0)*(1/5)^(n)
Pour vous c'est juste une formule du cours pour les suites géomètrique, ceci dit vous avez probablement fait la démonstration (qui est une démonstration par récurrence)

figoal : bon la limite de v(n) c'est évidemment 0 vu que la raison est inférieure à 1.
La, je pense pas me trompé en affirmant que vous avez vu le théorème que j'ai énoncé dans mon post

voila !
Figoal tu fais quoi comme étude? Je parie sur la fac ! (y a que la qu'on fait des math correctement!)